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Ce troisi#232;me volume de la collection DOSSIERS MATHEMATIQUES propose une introduction aux probabilit#233;s : g#233;n#233;ralit#233;s, d#233;finitions usuelles, probabilit#233;s conditionnelles, variables al#233;atoires r#233;elles, sch#233;ma de Bernoulli et loi binomiale. Ce cours, qui se suffit #224; lui-m#234;me, est agr#233;ment#233; de 42 exercices et de nombreux exemples qui rendent les notions introduites beaucoup plus palpables, et donnent l'occasion au lecteur de chercher une solution avant de la lire. Il s'agit des bases concernant le calcul des probabilit#233;s. Une culture math#233;matique g#233;n#233;rale suffit pour profiter de ce livre r#233;dig#233; pour pouvoir #234;tre lu facilement, tout en pr#233;sentant le sujet de fa#231;on construite et rigoureuse. Le texte propos#233; est celui des chapitres 2 #224; 4 de mon livre intitul#233; Cahiers de math#233;matiques du sup#233;rieur, paru en 2010. Ce texte a #233;t#233; revu, corrig#233;, augment#233; et adapt#233; #224; cette nouvelle #233;dition. Le format de cette nouvelle collection permettra #224; qui le d#233;sire d'avoir un acc#232;s direct #224; ces chapitres probabilistes, sans la n#233;cessit#233; de s'#233;quiper d'un livre portant sur d'autres sujets.
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Ce livre, qui permet de revisiter les th#233;or#232;mes de g#233;om#233;trie pr#233;sent#233;s au coll#232;ge et se replonger dans les d#233;monstrations que l'on peut proposer #224; ce niveau, nous m#232;ne beaucoup plus loin en s'autorisant #224; d#233;passer le cadre strict du coll#232;ge pour analyser ces th#232;mes et r#233;fl#233;chir sur la validit#233; des preuves propos#233;es. Il s'adresse en priorit#233; aux enseignants et aux #233;tudiants en licence de math#233;matiques qui d#233;sirent revoir en profondeur les th#232;mes g#233;om#233;triques du coll#232;ge en utilisant leurs connaissances et en exer#231;ant leur esprit critique. Ce livre d#233;veloppe aussi une axiomatique simplifi#233;e adapt#233;e aux premiers pas dans cette discipline, qui satisfera l'enseignant et permettra de penser la progression sur les quatre ann#233;es du coll#232;ge. On y trouvera aussi : - des r#233;flexions sur la fa#231;on de pr#233;senter et d'expliquer les notions #224; ce niveau, comme par exemple cette pr#233;sentation des quadrilat#232;res usuels qui s'enseigne tr#232;s bien en sixi#232;me et cinqui#232;me en facilitant la compr#233;hension des #233;l#232;ves. - des r#233;ponses #224; certaines questions sur la l#233;gitimit#233; des d#233;finitions propos#233;es, comme cette d#233;finition d'un cosinus d'un angle aigu qui d#233;pendrait du triangle rectangle utilis#233;. - une analyse des simplifications et des abus de langage utilis#233;s pour simplifier le discours #224; ce niveau, par exemple #224; l'occasion de la d#233;finition d'un angle g#233;om#233;trique ou d'un arc intercept#233; par un angle au centre. - des preuves compl#232;tes et d#233;velopp#233;es, avec des compl#233;ments d'information et de nombreuses remarques. Un chapitre complet sur l'utilisation des aires comme un outil de d#233;monstration et une annexe cons#233;quente compl#232;tent cet ouvrage. Apr#232;s les premiers axiomes d'incidence et l'introduction naturelle d'une distance poss#233;dant toutes les propri#233;t#233;s communes d#233;j#224; connues des #233;l#232;ves entrant en sixi#232;me, l'axiome de l'in#233;galit#233; triangulaire ne fera que valider une phrase pleine de bon sens et du reste souvent entendue sur les bancs des #233;coles : #171; Le plus court chemin d'un point #224; un autre est la ligne droite #187;. L'introduction des m#233;diatrices de segments et des sym#233;tries axiales permettent de disposer de r#233;sultats importants qui seront sans cesse utilis#233;s au coll#232;ge au cours des d#233;monstrations. Des pliages et des trac#233;s de figures permettent de v#233;rifier manuellement et visuellement toutes les propri#233;t#233;s des sym#233;tries axiales Les programmes du coll#232;ge sont depuis longtemps bas#233;s sur l'#233;tude de la sym#233;trie axiale et du rectangle en sixi#232;me, suivie de celle de la sym#233;trie centrale et du parall#233;logramme en cinqui#232;me, avant l'introduction du Th#233;or#232;me de la droite des milieux, du Th#233;or#232;me de Thal#232;s et du Th#233;or#232;me de Pythagore en quatri#232;me. Ce n'est qu'en troisi#232;me que l'on aborde la r#233;ciproque du Th#233;or#232;me de Thal#232;s.
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Ce volume 6 des DOSSIERS MATHEMATIQUES permet de revisiter quatre grands th#233;or#232;mes d'analyse : le th#233;or#232;me des valeurs interm#233;diaires, le th#233;or#232;me des fonctions r#233;ciproques, le th#233;or#232;me de Rolle et celui des accroissements finis d#233;clin#233; en plusieurs versions suivant les choix des ensembles de d#233;part et d'arriv#233;e. Comme toujours dans cette collection, nous irons #224; l'essentiel en proposant des #233;nonc#233;s pr#233;cis suivis de d#233;monstrations explicites, et en donnant toutes les pr#233;cisions qui nous sembleront utiles pour mieux comprendre, et donc mieux retenir, ces r#233;sultats. On proposera des exemples et des contre-exemples, des applications d#232;s que cela est possible, et une trentaine d'exercices pour la mise en pratique. Ce livre est adapt#233; pour r#233;viser cette partie du programme d'analyse quand on pr#233;pare des concours. Il permet de s'approprier des d#233;monstrations classiques indispensables pour disposer d'une bonne culture math#233;matique. Il regroupe aussi au m#234;me endroit des applications de ces th#233;or#232;mes. Le niveau retenu pour profiter de ce travail est celui de la licence de math#233;matiques.
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Ce second volume de la s#233;rie DOSSIERS MATHEMATIQUES est un concentr#233; de cours sur la dualit#233;, suivi de 13 exercices d'entra#238;nement corrig#233;s. En une cinquantaine de pages, le lecteur peut r#233;viser ou d#233;couvrir les d#233;finitions et les r#233;sultats importants concernant la dualit#233;, et voir des applications int#233;ressantes comme la formule de Taylor pour les polyn#244;mes ou la formule des trois niveaux. Seules des connaissances de base en alg#232;bre lin#233;aire sont n#233;cessaires pour profiter de ce cours. Il s'agit ici de faire le point sur nos connaissances sur la dualit#233;. Connaissez-vous la formule donnant la dimension de l'intersection de m hyperplans dans un espace de dimension finie ? Savez-vous la d#233;montrer rapidement en utilisant la dualit#233; ? Comment d#233;finir la transpos#233;e d'une application lin#233;aire ? A quoi est #233;gal l#8217;orthogonal de F+G ? Que vaut l'identification de E #224; son bidual via l'isomorphisme canonique #171; #233;valuation en x #187; ? Tous les sous-espaces vectoriels poss#232;dent-ils des #233;quations cart#233;siennes ? Pourquoi ?
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Le livre se propose de pr#233;senter en un seul volume l'ensemble des th#232;mes de Culture g#233;n#233;rale au programme de la 1ere ann#233;e de pr#233;paration des classes ECS et ECE. Ce programme, tr#232;s vaste, est con#231;u comme un panorama des grandes questions qui ont constitu#233; la r#233;flexion occidentale depuis ses origines. A destination des #233;tudiants, cet ouvrage propose les points essentiels du programme, sans pr#233;tendre ni #224; l'exhaustivit#233;, ni au traitement de questions trop pr#233;cises. Au plus pr#232;s des intitul#233;s du programme, il permet une grande lisibilit#233; et offre de nombreux outils m#233;thodologiques. Cet ouvrage constitue une base #224; partir de laquelle, l'#233;tudiant pourra s'orienter pour approfondir tel point ou compl#233;ter ses connaissances. Il pr#233;sente la plupart des questions en les articulant sur la r#233;flexion contemporaine, sans d#233;magogie, mais en montrant comment la culture peut nourrir la pens#233;e actuelle et aider #224; la compr#233;hension des probl#232;mes. Culture g#233;n#233;rale, est donc con#231;u comme une plate-forme ouverte #224; la fois sur la culture issue de la tradition et le monde contemporain.
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