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Ce livre propose un d#233;veloppement rigoureux et complet sur les d#233;terminants et les syst#232;mes lin#233;aires, agr#233;ment#233; de nombreuses applications utiles et jolies comme l'orientation d'un espace vectoriel, le r#233;sultant de deux polyn#244;mes, le Th#233;or#232;me de Rouch#233;-Fonten#233; bien expliqu#233;, la m#233;thode du pivot de Gauss, celle du pivot de Jordan, une description compl#232;te des op#233;rations #233;l#233;mentaires sur une matrice, sans oublier une d#233;monstration astucieuse du Th#233;or#232;me de Cayley-Hamilton. D#8217;autres p#233;pites sont #224; d#233;couvrir comme les polyn#244;mes d'interpolation de Lagrange, le produit mixte et la CNS pour que trois droites soient parall#232;les ou concourantes#8230; La collection des DOSSIERS MATHEMATIQUES : une approche classique pour une efficacit#233; redoutable ! Ici un moyen id#233;al pour faire le point sur des d#233;veloppements importants en alg#232;bre lin#233;aire. Ce livre s'ins#232;re dans une s#233;rie de 5 lectures sur l'alg#232;bre lin#233;aire publi#233;es dans le cadre de la collection des DOSSIERS MATHEMATIQUES, et le lecteur d#233;sireux de r#233;viser l'ensemble des fondamentaux d'alg#232;bre lin#233;aire pourra s'int#233;resser aux volumes de la collection dans le #171; bon ordre #187; suivant : 1) Introduction #224; l'alg#232;bre lin#233;aire (DM n#176;004). 2) Matrices. 3) Dualit#233; en alg#232;bre lin#233;aire (DM n#176;002). 4) D#233;terminants et syst#232;mes lin#233;aires (DM n#176;005). 5) R#233;duction d'endomorphismes.
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Ce cours sur la r#233;duction des endomorphismes, accompagn#233; de 30 exercices d'application et de deux probl#232;mes extraits de concours, permet de d#233;couvrir ou de r#233;viser cette partie du programme d'alg#232;bre lin#233;aire. Il s'adresse aux #233;tudiants de licence qui pourront d#233;couvrir les notions de valeurs propres, de vecteurs propres, la diagonalisation et la trigonalisation des matrices carr#233;es, puis le Th#233;or#232;me de Cayley-Hamilton, la r#233;duction par bloc, le Th#233;or#232;me de Dunford, pour terminer sur la r#233;duction sous la forme de Jordan. Ce livre s'adresse aussi en priorit#233; #224; tous ceux qui ont besoin de r#233;viser cette partie du cours en prenant le maximum de recul, pour pr#233;parer un concours ou un examen. Les notions sont abord#233;es de fa#231;on simple et claire, les exercices sont vari#233;s et permettent de s'entra#238;ner dans des directions diff#233;rentes, et un chapitre sp#233;cial a #233;t#233; ajout#233; pour proposer des applications vari#233;es de la r#233;duction des endomorphismes sans h#233;siter #224; donner toutes les pr#233;cisions utiles qui rendront ces applications transparentes. La r#233;duction d'endomorphisme peut donner lieu #224; des questions #224; l'#233;crit du CAPES, comme on le voit avec le premier probl#232;me propos#233; au chapitre 7, extrait du CAPES externe 2014 anticip#233;. Si l'on pr#233;pare le CAPES, on se bornera #224; bien travailler le cours minimum, c'est-#224;-dire les chapitres 1, 2, 3 et 4 en #233;vitant de traiter le chapitre 5 sur la r#233;duction de Jordan, puis on s'attaquera #224; quelques exercices sans oublier de traiter les deux probl#232;mes du dernier chapitre. Si l'on pr#233;pare l'agr#233;gation interne, et a fortiori l'externe, il est conseill#233; de tout lire et de tout travailler, en insistant sur les applications fondamentales rassembl#233;es au chapitre 6. Je souhaite que le lecteur prenne autant de plaisir #224; lire ce volume 8 de la collection des DOSSIERS MATHEMATIQUES que j'ai eu de plaisir #224; le travailler et #224; le construire !
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Ce livre propose un panorama pr#233;cis des diff#233;rentes m#233;thodes de raisonnement que l'on rencontre en math#233;matiques. Les syllogismes d'Aristote sont le point de d#233;part d'un voyage dans les contr#233;es du raisonnement d#233;ductif et de son utilisation. D'autres modes de raisonnements seront abord#233;s, comme les raisonnements inductifs et abductifs, pour arriver #224; mieux comprendre la particularit#233; des sciences logico-d#233;ductives. Agr#233;ment#233; de 74 exemples propos#233;s sous forme d'exercices de difficult#233;s vari#233;es, corrig#233;s et comment#233;s avec soin, ce septi#232;me volume de la collection des DOSSIERS MATHEMATIQUES est l'occasion de faire le point sur les m#233;thodes dont on dispose en math#233;matiques pour chercher, raisonner, et r#233;diger. La plupart des exercices propos#233;s demandent d'avoir au moins suivi la fili#232;re scientifique des lyc#233;es, m#234;me si des connaissances math#233;matiques des deux premi#232;res ann#233;es de licence sont souhaitables pour une lecture facilit#233;e de certains passages. Comme l'a #233;crit Epicure dans sa Lettre #224; M#233;n#233;c#233;e : #171; Il vaut mieux #233;chouer par mauvaise fortune, apr#232;s avoir bien raisonn#233;, que r#233;ussir par heureuse fortune, apr#232;s avoir mal raisonn#233; #187;. Mais que veut dire #171; bien raisonner #187; ? Apr#232;s un premier chapitre qui rappelle ce que sont les syllogismes, les paralogismes et les sophismes, on trouvera une description concise du raisonnement d#233;ductif, avec quelques rappels concernant les tables de v#233;rit#233;, les pr#233;dicats et les quantificateurs. Le chapitre 3 d#233;crit sept raisonnements tr#232;s utilis#233;s en math#233;matiques : - Raisonner directement en d#233;duisant syst#233;matiquement les affirmations les unes des autres est un moyen de proc#233;der, m#234;me s'il s'av#232;re judicieux de casser ce sch#233;ma pour permettre d'#234;tre plus cr#233;atif, par exemple en commen#231;ant par la conclusion. - Raisonner par disjonction de cas est parfois incontournable, comme le sugg#232;re un paradoxe de Lewis Carroll ou l'exercice sur les chevaliers et les gueux. - Un contre-exemple suffit pour infirmer une propri#233;t#233; pr#233;sent#233;e comme g#233;n#233;rale. - Raisonner par contrapos#233;e peut #234;tre utile, mais l'int#233;r#234;t majeur de la prise de la contrapos#233;e d'une implication r#233;side plut#244;t dans la capacit#233; de r#233;#233;crire une affirmation de fa#231;on totalement nouvelle et insoup#231;onn#233;e. - Le raisonnement par l'absurde remplace avec bonheur l'utilisation de la contrapos#233;e en offrant plus de souplesse et de libert#233;. On se posera cependant la question de savoir pourquoi le raisonnement par l'absurde est souvent mal aim#233; quand il s'agit d'#233;crire une d#233;monstration. - Il est impossible de se passer du raisonnement par analyse-synth#232;se tant celui-ci permet de d#233;buter une recherche tout en offrant une m#233;thode de construction des objets auxquels on s'int#233;resse. - En dernier lieu, on #233;tudiera le raisonnement par r#233;currence qui donne un sens #224; des propositions qui touchent #224; une infinit#233; de d#233;clarations. Un dernier chapitre s'int#233;resse #224; l'enseignement du raisonnement, qu'il ne faut pas trop vite confondre avec la pratique de la d#233;monstration. L'apprentissage du raisonnement devrait #234;tre l'un des objectifs principaux de l'enseignement des math#233;matiques, conjointement #224; l'acquisition de tout un panel de savoirs structur#233;s construits sur des r#233;sultats que l'on aura d#233;montr#233;s, ou du moins justifi#233;s de la fa#231;on la plus rigoureuse possible #224; un niveau d'enseignement donn#233;.
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Ce troisi#232;me volume de la collection DOSSIERS MATHEMATIQUES propose une introduction aux probabilit#233;s : g#233;n#233;ralit#233;s, d#233;finitions usuelles, probabilit#233;s conditionnelles, variables al#233;atoires r#233;elles, sch#233;ma de Bernoulli et loi binomiale. Ce cours, qui se suffit #224; lui-m#234;me, est agr#233;ment#233; de 42 exercices et de nombreux exemples qui rendent les notions introduites beaucoup plus palpables, et donnent l'occasion au lecteur de chercher une solution avant de la lire. Il s'agit des bases concernant le calcul des probabilit#233;s. Une culture math#233;matique g#233;n#233;rale suffit pour profiter de ce livre r#233;dig#233; pour pouvoir #234;tre lu facilement, tout en pr#233;sentant le sujet de fa#231;on construite et rigoureuse. Le texte propos#233; est celui des chapitres 2 #224; 4 de mon livre intitul#233; Cahiers de math#233;matiques du sup#233;rieur, paru en 2010. Ce texte a #233;t#233; revu, corrig#233;, augment#233; et adapt#233; #224; cette nouvelle #233;dition. Le format de cette nouvelle collection permettra #224; qui le d#233;sire d'avoir un acc#232;s direct #224; ces chapitres probabilistes, sans la n#233;cessit#233; de s'#233;quiper d'un livre portant sur d'autres sujets.
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