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Ce second volume de la s#233;rie DOSSIERS MATHEMATIQUES est un concentr#233; de cours sur la dualit#233;, suivi de 13 exercices d'entra#238;nement corrig#233;s. En une cinquantaine de pages, le lecteur peut r#233;viser ou d#233;couvrir les d#233;finitions et les r#233;sultats importants concernant la dualit#233;, et voir des applications int#233;ressantes comme la formule de Taylor pour les polyn#244;mes ou la formule des trois niveaux. Seules des connaissances de base en alg#232;bre lin#233;aire sont n#233;cessaires pour profiter de ce cours. Il s'agit ici de faire le point sur nos connaissances sur la dualit#233;. Connaissez-vous la formule donnant la dimension de l'intersection de m hyperplans dans un espace de dimension finie ? Savez-vous la d#233;montrer rapidement en utilisant la dualit#233; ? Comment d#233;finir la transpos#233;e d'une application lin#233;aire ? A quoi est #233;gal l#8217;orthogonal de F+G ? Que vaut l'identification de E #224; son bidual via l'isomorphisme canonique #171; #233;valuation en x #187; ? Tous les sous-espaces vectoriels poss#232;dent-ils des #233;quations cart#233;siennes ? Pourquoi ?
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Ce livre propose un panorama pr#233;cis des diff#233;rentes m#233;thodes de raisonnement que l'on rencontre en math#233;matiques. Les syllogismes d'Aristote sont le point de d#233;part d'un voyage dans les contr#233;es du raisonnement d#233;ductif et de son utilisation. D'autres modes de raisonnements seront abord#233;s, comme les raisonnements inductifs et abductifs, pour arriver #224; mieux comprendre la particularit#233; des sciences logico-d#233;ductives. Agr#233;ment#233; de 74 exemples propos#233;s sous forme d'exercices de difficult#233;s vari#233;es, corrig#233;s et comment#233;s avec soin, ce septi#232;me volume de la collection des DOSSIERS MATHEMATIQUES est l'occasion de faire le point sur les m#233;thodes dont on dispose en math#233;matiques pour chercher, raisonner, et r#233;diger. La plupart des exercices propos#233;s demandent d'avoir au moins suivi la fili#232;re scientifique des lyc#233;es, m#234;me si des connaissances math#233;matiques des deux premi#232;res ann#233;es de licence sont souhaitables pour une lecture facilit#233;e de certains passages. Comme l'a #233;crit Epicure dans sa Lettre #224; M#233;n#233;c#233;e : #171; Il vaut mieux #233;chouer par mauvaise fortune, apr#232;s avoir bien raisonn#233;, que r#233;ussir par heureuse fortune, apr#232;s avoir mal raisonn#233; #187;. Mais que veut dire #171; bien raisonner #187; ? Apr#232;s un premier chapitre qui rappelle ce que sont les syllogismes, les paralogismes et les sophismes, on trouvera une description concise du raisonnement d#233;ductif, avec quelques rappels concernant les tables de v#233;rit#233;, les pr#233;dicats et les quantificateurs. Le chapitre 3 d#233;crit sept raisonnements tr#232;s utilis#233;s en math#233;matiques : - Raisonner directement en d#233;duisant syst#233;matiquement les affirmations les unes des autres est un moyen de proc#233;der, m#234;me s'il s'av#232;re judicieux de casser ce sch#233;ma pour permettre d'#234;tre plus cr#233;atif, par exemple en commen#231;ant par la conclusion. - Raisonner par disjonction de cas est parfois incontournable, comme le sugg#232;re un paradoxe de Lewis Carroll ou l'exercice sur les chevaliers et les gueux. - Un contre-exemple suffit pour infirmer une propri#233;t#233; pr#233;sent#233;e comme g#233;n#233;rale. - Raisonner par contrapos#233;e peut #234;tre utile, mais l'int#233;r#234;t majeur de la prise de la contrapos#233;e d'une implication r#233;side plut#244;t dans la capacit#233; de r#233;#233;crire une affirmation de fa#231;on totalement nouvelle et insoup#231;onn#233;e. - Le raisonnement par l'absurde remplace avec bonheur l'utilisation de la contrapos#233;e en offrant plus de souplesse et de libert#233;. On se posera cependant la question de savoir pourquoi le raisonnement par l'absurde est souvent mal aim#233; quand il s'agit d'#233;crire une d#233;monstration. - Il est impossible de se passer du raisonnement par analyse-synth#232;se tant celui-ci permet de d#233;buter une recherche tout en offrant une m#233;thode de construction des objets auxquels on s'int#233;resse. - En dernier lieu, on #233;tudiera le raisonnement par r#233;currence qui donne un sens #224; des propositions qui touchent #224; une infinit#233; de d#233;clarations. Un dernier chapitre s'int#233;resse #224; l'enseignement du raisonnement, qu'il ne faut pas trop vite confondre avec la pratique de la d#233;monstration. L'apprentissage du raisonnement devrait #234;tre l'un des objectifs principaux de l'enseignement des math#233;matiques, conjointement #224; l'acquisition de tout un panel de savoirs structur#233;s construits sur des r#233;sultats que l'on aura d#233;montr#233;s, ou du moins justifi#233;s de la fa#231;on la plus rigoureuse possible #224; un niveau d'enseignement donn#233;.
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Ce volume 6 des DOSSIERS MATHEMATIQUES permet de revisiter quatre grands th#233;or#232;mes d'analyse : le th#233;or#232;me des valeurs interm#233;diaires, le th#233;or#232;me des fonctions r#233;ciproques, le th#233;or#232;me de Rolle et celui des accroissements finis d#233;clin#233; en plusieurs versions suivant les choix des ensembles de d#233;part et d'arriv#233;e. Comme toujours dans cette collection, nous irons #224; l'essentiel en proposant des #233;nonc#233;s pr#233;cis suivis de d#233;monstrations explicites, et en donnant toutes les pr#233;cisions qui nous sembleront utiles pour mieux comprendre, et donc mieux retenir, ces r#233;sultats. On proposera des exemples et des contre-exemples, des applications d#232;s que cela est possible, et une trentaine d'exercices pour la mise en pratique. Ce livre est adapt#233; pour r#233;viser cette partie du programme d'analyse quand on pr#233;pare des concours. Il permet de s'approprier des d#233;monstrations classiques indispensables pour disposer d'une bonne culture math#233;matique. Il regroupe aussi au m#234;me endroit des applications de ces th#233;or#232;mes. Le niveau retenu pour profiter de ce travail est celui de la licence de math#233;matiques.
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