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Les ouvrages de cette collection s'adressent aux étudiants de second cycle universitaire et agrégatifs de mathématiques. Le but poursuivi est de donner de solides connaissances de base, avec le souci de rigueur indispensable à la formation de l'esprit scientifique. On a donc fait le choix d'une présentation simple et réduite à l'essentiel des concepts fondamentaux enseignés en licence ou en maîtrise de mathématiques et qui figurent dans les programmes officiels du CAPES ou de l'Agrégation.
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Ce livre propose un panorama pr#233;cis des diff#233;rentes m#233;thodes de raisonnement que l'on rencontre en math#233;matiques. Les syllogismes d'Aristote sont le point de d#233;part d'un voyage dans les contr#233;es du raisonnement d#233;ductif et de son utilisation. D'autres modes de raisonnements seront abord#233;s, comme les raisonnements inductifs et abductifs, pour arriver #224; mieux comprendre la particularit#233; des sciences logico-d#233;ductives. Agr#233;ment#233; de 74 exemples propos#233;s sous forme d'exercices de difficult#233;s vari#233;es, corrig#233;s et comment#233;s avec soin, ce septi#232;me volume de la collection des DOSSIERS MATHEMATIQUES est l'occasion de faire le point sur les m#233;thodes dont on dispose en math#233;matiques pour chercher, raisonner, et r#233;diger. La plupart des exercices propos#233;s demandent d'avoir au moins suivi la fili#232;re scientifique des lyc#233;es, m#234;me si des connaissances math#233;matiques des deux premi#232;res ann#233;es de licence sont souhaitables pour une lecture facilit#233;e de certains passages. Comme l'a #233;crit Epicure dans sa Lettre #224; M#233;n#233;c#233;e : #171; Il vaut mieux #233;chouer par mauvaise fortune, apr#232;s avoir bien raisonn#233;, que r#233;ussir par heureuse fortune, apr#232;s avoir mal raisonn#233; #187;. Mais que veut dire #171; bien raisonner #187; ? Apr#232;s un premier chapitre qui rappelle ce que sont les syllogismes, les paralogismes et les sophismes, on trouvera une description concise du raisonnement d#233;ductif, avec quelques rappels concernant les tables de v#233;rit#233;, les pr#233;dicats et les quantificateurs. Le chapitre 3 d#233;crit sept raisonnements tr#232;s utilis#233;s en math#233;matiques : - Raisonner directement en d#233;duisant syst#233;matiquement les affirmations les unes des autres est un moyen de proc#233;der, m#234;me s'il s'av#232;re judicieux de casser ce sch#233;ma pour permettre d'#234;tre plus cr#233;atif, par exemple en commen#231;ant par la conclusion. - Raisonner par disjonction de cas est parfois incontournable, comme le sugg#232;re un paradoxe de Lewis Carroll ou l'exercice sur les chevaliers et les gueux. - Un contre-exemple suffit pour infirmer une propri#233;t#233; pr#233;sent#233;e comme g#233;n#233;rale. - Raisonner par contrapos#233;e peut #234;tre utile, mais l'int#233;r#234;t majeur de la prise de la contrapos#233;e d'une implication r#233;side plut#244;t dans la capacit#233; de r#233;#233;crire une affirmation de fa#231;on totalement nouvelle et insoup#231;onn#233;e. - Le raisonnement par l'absurde remplace avec bonheur l'utilisation de la contrapos#233;e en offrant plus de souplesse et de libert#233;. On se posera cependant la question de savoir pourquoi le raisonnement par l'absurde est souvent mal aim#233; quand il s'agit d'#233;crire une d#233;monstration. - Il est impossible de se passer du raisonnement par analyse-synth#232;se tant celui-ci permet de d#233;buter une recherche tout en offrant une m#233;thode de construction des objets auxquels on s'int#233;resse. - En dernier lieu, on #233;tudiera le raisonnement par r#233;currence qui donne un sens #224; des propositions qui touchent #224; une infinit#233; de d#233;clarations. Un dernier chapitre s'int#233;resse #224; l'enseignement du raisonnement, qu'il ne faut pas trop vite confondre avec la pratique de la d#233;monstration. L'apprentissage du raisonnement devrait #234;tre l'un des objectifs principaux de l'enseignement des math#233;matiques, conjointement #224; l'acquisition de tout un panel de savoirs structur#233;s construits sur des r#233;sultats que l'on aura d#233;montr#233;s, ou du moins justifi#233;s de la fa#231;on la plus rigoureuse possible #224; un niveau d'enseignement donn#233;.
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La loi normale, et les applications que constituent l'#233;chantillonnage et l'estimation, ont fait leur entr#233;e en fanfare dans les programmes du lyc#233;e avec la r#233;forme Chatel 2010. Ces notions difficiles #224; ma#238;triser et #224; enseigner font maintenant partie du bagage initial de tout professeur certifi#233;. Ce livre donne les moyens de faire le point sur ces th#232;mes en proposant plusieurs entr#233;es qui permettront au lecteur de trouver rapidement ce qu'il cherche. Il s'adresse #224; toute personne au moins titulaire d'une licence de math#233;matiques qui d#233;sire conna#238;tre la loi normale et ses applications telles qu'elles sont pr#233;sent#233;es au lyc#233;e actuellement. Le premier chapitre de rappels peut #234;tre saut#233; si la d#233;finition d'une variable al#233;atoire #224; densit#233;, et les quelques autres d#233;finitions qui vont avec, sont d#233;j#224; connues. Le Chapitre 2 pr#233;sente tout ce qu'il faut savoir sur les lois normales : c'est un chapitre cl#233; #224; #233;tudier compl#232;tement. Il est conseill#233; de sauter le Chapitre 3 en premi#232;re lecture, et de ne s'y lancer que si l'on d#233;sire absolument voir une d#233;monstration compl#232;te du Th#233;or#232;me central limite (TCL) dont un corollaire, le Th#233;or#232;me de Moivre-Laplace, sera utilis#233; dans la suite. Ce Chapitre 3 est #224; sauter d#233;finitivement pour les candidats au CAPES et #224; l'agr#233;gation interne o#249; ces deux th#233;or#232;mes font partie des r#233;sultats admis. Quand on pr#233;pare un concours, le temps manque et il est conseill#233; de cibler ses apprentissages. Apr#232;s le Chapitre 2, on passera directement au Chapitre 4 qui montre l'approximation de certaines lois de probabilit#233; par des lois normales, puis on encha#238;nera avec le Chapitre 5 pr#233;sentant le probl#232;me de l'#233;chantillonnage, les intervalles de fluctuation et quelques d#233;veloppements importants. Le Chapitre 6, #224; lire absolument, ach#232;ve ce voyage minimal en expliquant la probl#233;matique de l'estimation de certains param#232;tres d'une population de taille importante, et en d#233;finissant les intervalles de confiance. Au Chapitre 7, un petit r#233;sum#233; fait le point sur les notions importantes #224; retenir. Si on le d#233;sire, on peut d'ailleurs commencer par lire ce r#233;sum#233; avant de se lancer dans l'#233;tude des autres chapitres, utilisant ce d#233;veloppement comme une d#233;licieuse #171; mise en bouche #187;. Les Chapitres 8 et 9 offrent quelques approfondissements sur tout ce qui a trait #224; la loi normale au lyc#233;e, en permettant notamment de : - visiter les programmes officiels du secondaire, - d#233;couvrir tous les exercices pos#233;s au BAC 2015 sur ce th#232;me, - explorer deux utilisations du logiciel Geogebra dans les classes. Pour finir, un annexe revient sur quelques questions pos#233;es plus t#244;t, comme celle de la d#233;finition de l'int#233;grabilit#233; d'une fonction sur R, si importante dans la d#233;finition d'une variable al#233;atoire #224; densit#233;, et propose la correction d'un probl#232;me extrait du CAPES externe 2013 portant sur le rapport entre la loi normale et l'entropie d'une variable al#233;atoire. Nul doute que ce voyage dans le pays des approximations et des possibles laisse un bon souvenir !
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